游戏开发之数学知识汇总

Other

创建时间:2017-01-05 11:04

字数:1.9k 阅读:

在程序开发过程遇到的数学问题，将其原理记录下来，这样针对性的学习总结要比全部捡起，更有可行性、更靠谱！

坐标系

为了表示位置，距离，方向等相关关系，使用三维的笛卡尔坐标系。左手坐标和右手坐标系的鉴别方法：拇指食指中指分别代表xyz，指头方向为正方向。如果左手和当前坐标轴对应就是左手坐标系，反之为右手坐标系。上图为左手坐标系。左手法则和右手法则，在左手坐标系里使用左手法则；在右手坐标系里使用右手法则。比如（0，0，1）在坐标系统中绕Y轴正方向旋转90度（旋转后坐标为（1,0,0）左右坐标系都一样），判断正方向的方法是在左手坐标系中，使用左手握住Y轴，4个指头指向的方向就是正方向。右手坐标系统则使用右手。在unity3d中Vector3的forward，right，up在左手坐标系中，forward表示z轴的前方，right表示x轴正方向，up表示y轴正方向。（左手坐标系：右手指向x轴，头顶y轴，面向z轴）

矢量运算

矢量与标量相乘除：K_V = _(K_Vx+ KVy+KVz) 矢量与矢量相加减：A_ + B = (A_x+Bx,Ay+By,Az+Bz),三角形法则如下图：矢量的模：单位矢量：模为1的矢量（归一化）零矢量：V=_（0，0，0）矢量的点积公式一：矢量点乘的几何意义：矢量b在单位矢量a上的投影 )公式二：矢量的叉积公式一：公式二： 矩阵运算 矩阵与标量相乘：矩阵与矩阵相乘：A(r行n列)乘以B(n行c列)得AB(r行c列)，A的列数必须与B的行数相同 AB元素的值：A的i行矢量乘以B的j列矢量，公式为：矩阵类型：方阵（对角矩阵）：行列相同单位矩阵(I)：MI=IM = M 转置矩阵：A(r行c列)转置为A(c行r列) 逆矩阵：必须为方阵(非零)MM = MM = I (M为逆矩阵)称为可逆的非奇异的否则称为不逆的，奇异的逆矩阵的逆矩阵为自己;I的逆矩阵为I;转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置；AB的逆等于B（逆）乘以A（逆）正交矩阵：MM = MM = I(M为转置矩阵)，M（转置） = M（逆）正交基：基矢量相互垂直标准正交基：正交基的所有基矢量长度为1 行矩阵列矩阵：Unity中矢量是列矩阵的形式表示的，放在矩阵的右侧矩阵 = 变换（旋转缩放平移）线性变换：矢量加和标量乘（旋转，缩放，错切，镜像，正交投影）仿射变换：合并线性变换和平移变换（非线性变换），4x4的矩阵表示，即齐次坐标空间基础变换：仅平移，仅旋转，仅缩放 M(3x3)表示旋转和缩放，t(3x1)表示平移，0(1x3)零矩阵，右下角为标量1. 平移矩阵：缩放矩阵： k(x),k(y),k(z)相同为统一缩放，否则为非统一缩放旋转矩阵：复合变换：从右向左，先缩放，再旋转，再平移（绝大多数情况下）复合缩放：unity顺利zxy

直线方程的公式有以下几种： 斜截式：y=kx+b 点斜式：y-y1=k(x-x1) 两点式：(y-y1)/(x-x1)=(y-y2)/(x-x2) 截距式：x/a+y/b=1 一般式点(x0,y0)到直线：Ax+By+C=0的距离： |AXo+BYo+C|/√(A²+B²) 直线的方向向量：(1,k)
点到直线的距离公式:

公式描述：公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。

负数的二进制负数以其正值的补码形式表示的，如： 5的二进制：00000000 00000000 00000000 00000101 5的二进制反码：11111111 11111111 11111111 11111010 5的二进制补码：11111111 11111111 11111111 11111011 （反码加1）
[-1,1]映射到[0,1]:pixel = (normal +1)/2
位运算符有：按位与、按位或、按位非、按位异或。与：& 都为1则为1 或：| 有一个为1则为1 非(取反)：~ 按位取反异或：^ 不同为1(如1和0，0和1)，相同为0(0和0,1和1) 位运算的几个经典用途： 1. 取x串中的低四位：x&0xF2. 将x串中低四位变成1，其他位不变：x|0xF 3. 将x串中低四位取反：x^0xF 4. 将x串的低四位变成0：x&~0xF
中缀算式和后缀算式，原理？中缀:（3+X*Y）-2Y/3 后缀：3 X Y * + 2 Y * 3 / -
二叉树性质： 1、非空二叉树的第n层上至多有2^(n-1)个元素。 2、深度为h的二叉树至多有2^h-1个结点。

遍历：前序遍历：根节点->左子树->右子树 A B D G H E C K F I J 中序遍历：左子树->根节点->右子树 G D H B E A K C I J F 后序遍历：左子树->右子树->根节点 G H D E B K J I F C A
右乘和左乘 v1 = (x,y,z) 行矩阵1x3；v2 = (x,y,z)(v1的转置) 列矩阵3x1; 左乘：工程数学中，用到两个矩阵相乘的时候，矩阵A×矩阵B，那么就称为A左乘以B。矩阵相乘才有左乘和右乘的区别矩阵左乘是行变换，右乘列变换
求和公式自然数1..n求和：自然数n..m求和：等差求和：等比求和：
速度，加速度，距离 Vt:末速 Vo:初速 a:加速度 S:位移 t:时间等加速度五个公式,每个公式都取其中四个量来运算：(其中Vo^2=初速平方,以此类推) S=Vo^2+a(t^2)/2 S=Vt^2+a(t^2)/2 Vt=Vo+at S=(Vo+Vt)*t/2 Vt^2=(Vo^2)+ 2aS 斜抛的公式H=V^2 * sin^2 x / 2g T=2VsinX/g R=V^2 * sin2x /g
四元数 Quaternion = (xi + yj + zk + w ) = (x,y,z,w)，(x,y,z) 跟旋转轴有关, w 与绕旋转轴旋转的角度有关,因为它们都要经过代数运算才能得出旋转轴和旋转角度在unity3d中, quaternion 的乘法操作 (operator * ) 有两种操作: (1) quaternion * quaternion , 例如 q = t * p; 这是将一个点先进行t 操作旋转,然后进行p操作旋转. (2) Quaternion * Vector3, 例如 p : Vector3, t : Quaternion , q : Quaternion; q = t * p; 这是将点p 进性t 操作旋转; 我进行的是第2种操作,即对一个向量进行旋转; 首先 ,Quaternion 的基本数学方程为 : Q = cos (a/2) + i (x * sin(a/2)) + j (y * sin(a/2)) + k(z * sin(a/2)) (a 为旋转角度) Q.w = cos (angle / 2) Q.x = axis.x * sin (angle / 2) Q.y = axis.y * sin (angle / 2) Q.z = axis.z * sin (angle / 2) 我们只要有角度就可以给出四元数的四个部分值,例如我想要让点M=Vector3(o,p,q) 绕x轴顺时针旋转90度;那么对应的quaternion数值就应该为: Q : Quaternion; Q.x = 1 * sin(90度/2) = sin(45度) = 0.7071 Q.y = 0; Q.z = 0; Q.w = cos(90度/2) = cos (45度) = 0.7071 Q = (0.7071, 0 , 0 , 0.7071); m = Q * m; （将点m 绕 x轴(1,0,0) 顺时针旋转了90度)

var m : Vector3;
```
var t1 : Quaternion;  
m = Vector3(1,0,0);        
t1 = Quaternion(0.7,0,0,0.7);  
m = t1*m;
```
这是quaternion 的最基本用法,主要给出角度，就可以算出Quaternion，然后对点坐标进行旋转。原文